Een kleine geschiedenis van p

DIRK VAN DELFT, 30 mei -  De oudste vindplaats van p is de Rhind Papyrus, daterend van circa 1650 v.Chr. 'Kort in met deel en construeer op het restant een vierkant', schreef de Egyptische klerk Ahmes, 'deze heeft hetzelfde oppervlak als de cirkel.' Uitgaande van als formule voor de oppervlakte van een cirkel (d is de diameter), leidt dit tot , of p=3,16049..., minder dan één procent naast de echte waarde.

Dezelfde periode hanteren de Babyloniërs 3, een waarde die later ook de Romeinen zou aanspreken omdat er zo handig mee te werken was. Pas duizend jaar na Ahmes, toen de Grieken zich met p gingen bemoeien, werd de Egyptische waarde verbeterd. Intussen kwamen de Chinezen niet verder dan p=3, een waarde die ook in het Oude Testament opduikt. In 1 Koningen 7:23 lezen we over het metaalwerk van Salomo's paleis: 'Voorts maakte hij de zee, van gietwerk, tien el van rand tot rand, geheel rond, vijf el hoog, terwijl een meetsnoer van dertig el haar rondom kon omspannen.' Dus: p=3. Van de Grieken is het idee p in te sluiten tussen een boven- en ondergrens. Daartoe voorzagen ze de cirkel van een ingeschreven én een omgeschreven veelhoek - hoe meer zijden hoe beter - waarna tijdrovende berekeningen een schatting van p opleverden. In de derde eeuw v.Chr. klemde Archimedes p aldus in tussen en . In de tweede eeuw na Christus kwam de Alexandrijn Ptolemeus in het zestigtallige stelsel tot 3º 8' 30'', oftewel 3,14166...

Terwijl Europa de Donkere Middeleeuwen tegemoet ging, maakten de Chinezen een grote sprong voorwaarts. De decimale notatie en het bezit van een symbool voor 0 strekten hen daarbij tot voordeel. In 263 kwam Liu Hui met de Griekse methode van de uitputtende veelhoeken tot 3,141024p3,142704. Twee eeuwen later verbeterden vader en zoon Tsu Ch'ung-Chih, uitgaande van een zeshoek waarvan ze het aantal zijden twaalf keer verdubbelden, dit tot p= of 3,1415929, slechts 0,000008 procent fout. Deze prestatie zou in duizend jaar niet overtroffen worden.

Op het eind van de zestiende eeuw was het weer de beurt aan Europa. In 1593 stelde François Viète een formule op waarmee hij p via een oneindig product kon uitrekenen. In de praktijk moest er ellenlang wortelgetrokken worden eer een paar decimalen goed stonden, maar het idee was een doorbraak. Ouderwets was de aanpak van Ludolph van Ceulen, die veelhoeken met miljarden zijden op Griekse wijze aanpakte om na jarenlange rekenarbeid in 1620 op 35 decimalen uit te komen.

Een halve eeuw later vonden Gregory en Leibnitz de methode om p met behulp van een oneindige som te bepalen, de arctangens-series. Convergeerde hun reeks uiterst traag (2 decimalen goed vereiste 300 termen), spoedig deden verbeteringen hun intrede en in 1706 was de Brit John Machin (die het verschil van twee arctangensen nam) de eerste met honderd decimalen. Halverwege de achttiende eeuw wist Leonhard Euler nog veel krachtiger arctangens-series te bedenken. Hiermee gewapend kwam William Shank in 1873 na twintig jaar zwoegen uit op 707 decimalen. Helaas had hij een foutje gemaakt, waardoor het vanaf decimaal 528 jammerlijk fout was gegaan. Gelukkig voor de Brit kwam de misser pas in 1945 uit.

Na de Tweede Wereldoorlog schoot de machine de mens te hulp. Eerst was dat de mechanische calculator, waarmee Ferguson in 1947 na vele maanden wieltjes draaien p tot 808 decimalen uitrekende. Winter 1948 werd de duizend-decimalen barrière doorbroken. Toen kwamen de elektronische computers en kon het echte werk beginnen. In 1949 had de ENIAC van John von Neumann en consorten maar 70 uur nodig voor 2037 decimalen, inclusief de tijd om het gevaarte ponskaarten te voeren. Zes jaar later rekende NORC 3089 decimalen uit in 13 minuten.

Er was geen houden meer aan. In 1961 bracht een IBM 7090 het record voorbij de 100.000, in 1973 passeerde een Parijse CDC 7600 het miljoen (in 23,3 uur). Vooruitgang kwam neer op brute rekenkracht: de gehanteerde methode stamde van rond de eeuwwisseling. Dat veranderde drastisch in 1976, toen Eugene Salamin in Mathematics of Computation een p-algoritme publiceerde dat kwadratisch convergeerde: iedere ronde verdubbelt het aantal decimalen. In vergelijking met de gangbare algoritmes, die per ronde hoogstens een handvol decimalen opleverden, betekende dat een doorbraak. Gewapend met dit Gauss-Brent-Salamin algoritme kwamen Tamura en Kanada in 1982 op een Hitac M-280H in 7 uur tot ruim 8 miljoen decimalen.

De laatste tien jaar zijn de Ramanujan-achtige algoritmes van de gebroeders Chudnovsky en de gebroeders Borwein immens krachtig gebleken. Eind 1989 haalden de Chudnovsky's op hun zelfgebouwde computer in Manhattan het miljard, vorig jaar sloeg Kanada in Tokio terug met 51,5 miljard op een Hitachi SR2201. Gewapend met 1024 parallelle processoren klaarde deze de klus in nog geen dertig uur. Intussen is de race om p ontaard in 'mijn computer is sterker dan de jouwe'-vertoon. Over p zelf zeggen die monsteruitkomsten niets.