Aan decimalen geen gebrek

DIRK VAN DELFT, 30 mei - Tot de intrigerendste getallen behoort de verhouding tussen de omtrek en de middellijn van een cirkel: p. Miljarden decimalen zijn al bekend, maar nog niemand heeft er enig systeem in kunnen ontdekken.

'Eva o lief, o zoete hartedief, uw blauwe oogen zyn wreed bedrogen.' Met dit versje (tel de letters per woord) onthielden in vroeger jaren de studenten wiskunde in Nijmegen de eerste 12 cijfers van het getal p (pi): 3,14159265358... Wie drie decimalen meer wil, is geholpen met de volgende variant: 'How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!'

Met decimaal 32 beginnen de mnemotechnische moeilijkheden: de eerste 0 duikt op. Op decimaal 600 volgens zelfs drie nullen op rij. Valt dat nog te verhelpen met tienletterwoorden, na decimaal 771 verschijnen er achter elkaar zes negens en een acht en rijg die grote woorden eens aan elkaar zonder in bombast te vervallen. De wiskundige Michael Keith waagde zich met zijn p-isering van Edgar Allen Poe's gedicht Near A Raven (740 cijfers) dan ook niet aan deze hobbel. George Perec mag met La Disparation een roman zonder e hebben geschreven, er zijn grenzen.

Van geheugensteuntjes wilde hoofdrekenaar Alexander Aitken niet weten, ze zouden het zuivere memoriseren maar in de weg zitten. Zelf wist de Schotse hoogleraar p tot duizend cijfers achter de komma op te dreunen, ritmisch, in coupletten van 50, ieder met tien regels van 5. Toch valt deze prestatie in het niet bij de recital van de 24-jarige Hiroyuki Goto. In februari 1995 zegde de (toenmalige) student uit het hoofd 42.000 decimalen op, in ruim negen uur. Een record dat nog steeds staat.

Pi (p), de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel, spreekt de mathematicus én de crackpot tot de verbeelding. In tijden dat er nog geen rekenmachines waren spendeerden wiskundigen jaren van hun leven aan het uitrekenen van tientallen domme decimalen. Waarom doen mensen dat? Vanwaar die gulzigheid naar de triljoenste decimaal? Geen ingenieur die er meer dan 7 nodig heeft en de theoretisch fysicus is met anderhalf dozijn dik tevreden. Is het de obsessie die de bergbeklimmer bevangt bij het zien van de Everest? Is het omdat de cirkel in het bovenmaanse thuis hoort, zodat in de geheimen van de kosmos besloten liggen?

Een van de intrigerendste eigenschappen van p is dat het een normaal getal lijkt te zijn: de decimalen volgen elkaar op in een oneindige, volstrekt willekeurige reeks. Hoe intelligent er ook gezocht is, geen mens heeft tot nu toe in de cijferbrij ook maar enig systeem kunnen ontdekken. Aan decimalen geen gebrek: inmiddels is p tot op tientallen miljarden cijfers achter de komma bekend. Maar altijd zijn er decimalen die we (nog) niet weten dus zolang p's normaliteit niet bewezen is, blijven speculaties over verscholen orde mogelijk.

Zo gebruikte L.E.J. Brouwer, een van Nederlands grootste wiskundigen ooit, p om zijn intuïtionisme te onderbouwen. Zijn vraag was: Is in de decimale ontwikkeling van p een reeks met duizend opeenvolgende nullen aanwijsbaar? Daarmee stelde hij het principe van de uitgesloten derde (iets is waar of het is niet waar, een derde mogelijkheid bestaat niet) aan de kaak: we weten het niet, de vraag is voorlopig onbeslisbaar. En in Carl Sagans roman Contact verklapt een alien aan een aardse dame dat na de honderd triljoenste decimaal opeens een ongekend lange serie nullen en enen in p opduikt, met daarin verstopt een boodschap van buitenaardse oorsprong.

Niemand die p zo op de pijnbank hebben gelegd als de gebroeders Chudnovsky. Het verhaal van David en Gregory is bizar. Geboren in het naoorlogse Kiev, ontpopten ze zich al op jonge leeftijd tot briljante getaltheoretici. Toen bij Gregory de ziekte myasthenie werd geconstateerd, een ernstige vorm van spierzwakte, zocht het gezin Chudnovsky de betere zorg van het westen, wat na internationale druk werd toegestaan. Sinds 1977 wonen de broers in New York. Daar stortten ze zich eendrachtig op p, met als hoofdkwartier het appartement in Upper West Side Manhattan van de bedlegerige Gregory.

Aanvankelijk berekenden de Chudnovsky's p op afstand, op een Cray 2 en een IBM 3090-VF supercomputer. Gregory schreef en stuurde het programma in bed. Kort nadat ze in 1989 met 480 miljoen decimalen een wereldrecord hadden gevestigd, bouwden ze - uit frustratie niet zelf aan de knoppen te kunnen zitten - bij Gregory thuis hun eigen supercomputer. De benodigde onderdelen kwamen van postorderbedrijven. De kosten, zo'n $ 70.000, werden opgebracht door hun echtgenotes en ook Columbia University droeg een steentje bij. M zero, zoals de computer gedoopt werd, nam het merendeel van Gregory's flat in beslag en genereerde zoveel warmte dat het er, ondanks de airconditioning, snikheet was.

Pi bepalen per computer vergt een krachtige microprocessor die efficiënt kan vermenigvuldigen (anders dan wij op school leren), veel rekentijd maar bovenal een slim algoritme. Dat is een stapsgewijs rekenprocédé waarbij de uitkomst van de ene iteratie het startpunt is voor een volgende. De kunst is deze serie zo te ontwerpen dat hij pijlsnel naar de juiste waarde van p convergeert, zodat de computer bij iedere rekenronde vele decimalen prijsgeeft. De Chudnovsky's lieten zich inspireren door de 'toverformules' van het Indiase genie Ramanujan (1887-1920). Eind 1989 doorbraken de gebroeders met hun aanpak als eersten de 1 miljard-barrière.

Daarna werd het haasje over met de Japanner Yasumasa Kanada, die teruggreep op werk van de niet minder geniale Carl Friedrich Gauss (1777-1855). In 1996, toen de gebroeders Chudnovsky ten lange leste in Brooklyn academisch onderdak vonden en m zero moest verhuizen, kwam hun huiscomputer, alvorens in dozen te verdwijnen, na een week draaien op 8 miljard decimalen. Vorig jaar pakte Kanada het record terug op een Hitachi SR2201: 51,5 miljard cijfers achter de komma.

Behalve de Chudnovsky's houden ook de Canadees-Britse gebroeders Jonathan en Peter Borwein zich bezig met krachtige pi-algoritmes. In 1985 kwamen ze met een rekenschema dat het aantal decimalen per ronde verviervoudigt: binnen vijftien stappen twee miljard stuks. Overigens telt een record pas als twee verschillende algoritmes dezelfde uitkomst geven. Inmiddels is het draaien en controleren van een stevige p-berekening uitgegroeid tot een standaardtest voor nieuwe supercomputers.

Oktober 1995 kwamen de Borweins met een nieuwe doorbraak: het uitrekenen van een willekeurige decimaal van p zonder eerst alle voorafgaande decimalen op een rijtje te hebben. Het benodigde Bailey-Borwein-Plouffe-algoritme, genoemd naar de auteurs van het bijbehorende artikel zoals dat vorig jaar in Mathematics of Computation verscheen, is relatief eenvoudig te programmeren en vereist weinig computergeheugen. Opvallend is dat de formule alleen werkt in een hexadecimaal (zestientallig) stelsel. Als voorbeeld is de tien miljardste hexadecimaal uitgerekend: 0. Naar een variant voor het tientallige stelsel wordt gezocht.

Of de Chudnovsky's in Brooklyn de jacht op p zullen voortzetten, valt te bezien: hun speurtocht naar patronen in de decimalen heeft niets opgeleverd. In The New Yorker van 2 maart 1992 vergeleken David en Gregory hun aanpak met het bestuderen van schrijvers aan de hand van hun stijl. Stuit je op een paginalange Russische zin met nauwelijks komma's, dan moet dat Tolstoi zijn. Bestaat zoiets ook voor p? Kun je, als iemand je een blok van een miljoen decimalen toestopt, op de een of andere manier zien dat ze uit p zijn gesneden? Tot nu toe is geen enkel patroon opgedoken, laat staan dat Gregory en David in p een onderliggende regel hebben aangetroffen. 'Ik vrees dat p idioot veel weg heeft van een normaal getal', verzucht Gregory. 'Dat maakt ons leven niet gemakkelijker.'

Pi's normaliteit mag een open vraag zijn, twee andere eigenschappen zijn met zekerheid vastgesteld. Al in 1761 bewees Lambert wat collega's allang vermoedden: p is irrationaal en dus niet te schrijven als een breuk, bijvoorbeeld ½. En vervolgens bewees Von Lindemann in 1882 dat p trancendentaal is, wat betekent dat het getal niet de oplossing kan zijn van vergelijkingen als 3x³-6x+23=0 (zorgvuldiger: een polynoom van eindige graad met rationale coëfficiënten). In het bewijs, dat steunt op eeuwen van diepgravende wiskunde, is een belangrijke rol weggelegd voor een formule die Euler opstelde en die geldt als de allermooiste die de wiskunde te bieden heeft: (met i de wortel uit -1 en e het grondgetal van de natuurlijke logaritme: 2,71828...).

Het trancendent zijn van p is een mokerslag voor wie de kwadratuur van de cirkel nastreeft. Deze klassieker, verzonnen door de oude Grieken, behelst het - met passer en lineaal - netjes construeren van een vierkant met exact de oppervlakte van een gegeven cirkel. Talloze oplossingen zijn aangedragen, alle fout. Verwonderlijk is dat niet: het trancendent zijn van p bewijst dat het niet kan. Eerder, in de zeventiende eeuw, hadden de wegen van de kwadrateurs en de echte wiskundigen zich al gescheiden. Zo kwam in 1668 Thomas Hobbes in De Problematis Physicis met p=3 aanzetten. Toen zijn bewijs was afgebrand, ondernam de filosoof een vlucht naar voren: hij opende de aanval op de Stelling van Pythagoras.

De kwadrateur zoekt iets dat niet bestaat. Maar zelf ziet hij dat anders. Het is zijn missie dit 'centrale wiskundige probleem' de baas te worden en zo de mensheid 'een grote dienst' te bewijzen. Nog altijd meldt hij zijn oplossing bij erkende wiskundigen - of bij de redactie Wetenschap & Onderwijs - en niemand die hem van zijn geloof afhelpt. Complottheorieën te over. Wiskundigen zouden de royalties van hun boeken niet in gevaar willen brengen. Of ze zouden als een soort vrijmetselaars de waarheid van p voor zichzelf houden. Anderen menen dat de gevestigde wiskunde niet toe is aan hun briljante aanpak en het lef mist fouten toe te geven.

Ongrijpbaar
Intrigerend aan p is het figureren van de constante in zeer uiteenlopende takken van wiskunde. Pi is allang niet meer beperkt tot het quotiënt van omtrek en diameter van een cirkel. Hij duikt op in de uitkomsten van oneindige reeksen. Of in de statistiek: de kans dat de verbindingslijn tussen twee willekeurige roosterpunten op een uitgestrekt ruitjesvel een tussenliggend roosterpunt 'pakt' is gelijk aan 6/p². Gevraagd naar de kans dat twee natuurlijke getallen een gemeenschappelijk deler hebben (zoals 7 in het paar 14;35), komt de getaltheorie tot hetzelfde antwoord. Is het eerste voorbeeld meetkundig van aard, zodat 'iets met p' niet onlogisch lijkt, bij het stoeien met getallen is zo'n band niet makkelijk te leggen. Pi is ongrijpbaar en alomtegenwoordig.

Eenvoud is verraderlijk. Dat we bijvoorbeeld nog steeds niet weten of p+e rationaal is, lijkt ongehoord. Maar wie zich eraan waagt, betreedt een wiskundig moeras. Toch is er vooruitgang. Afgelopen maand kreeg de Russische wiskundige Nesterenko de Ostrowski-prijs voor zijn ontdekking in 1996 van het algebraïsch onafhankelijk zijn van de getallen p en .

Dat betekent dat ze samen niet de oplossing kunnen zijn van een algebraïsche vergelijking met twee variabelen, bijvoorbeeld 3x³y-5xy²+12=0. Inderdaad, taaie kost en de uitleg die Nesterenko in het Leidse Lorentz Center gaf vereiste de nodige voorkennis. Maar zoveel is duidelijk, ook de echte wiskundige gaat p aan het hart.

Literatuur:
David Blatner. The Joy of Pi. Geïll., 130 blz., Penguin 1997. Prijs: fl. 53,90. ISBN 0 7139 9217 4.
Lennart Berggren, Jonathan Borwein, Peter Borwein. Pi: A Source Book. 716 blz., Springer 1997. Prijs: fl. 116,20. ISBN 0 387 94924 0.
Underwood Dudley. Mathematical Crancks. 372 blz., The Mathematical Association of America 1992. Prijs: fl. 73,65. ISBN 0 88385 507 0.