Exponentiële groei

Een grootheid groeit exponentieel wanneer de toename ervan evenredig is met de hoeveelheid die er al is. Eerst een voorbeeld van lineaire groei,dan van exponentiële groei:
Wie f 100 naar een bank brengt en het voor een periode van 10 jaar 'vast' zet op een spaarrekening ontvangt 10% interest per jaar. Stel dat de rente jaarlijks word opgenomen en thuis bewaard. Na 10 jaar staat er f 100 bij de bank en f 100 aan rente thuis, zodat na 10 jaar het vermogen is verdubbeld. In de figuur is de ontwikkeling van het vermogen in beeld gebracht. De honderd gulden zijn lineair gegroeid tot f 200: de groeilijn is een rechte.

<

Honderd gulden tegen 10% samengestelde interest

einde jaar	bedrag in f
0	100
1	110
2	121
3	133,10
4	146,41
5	161,05
6	177,15
7	194,87
8	214,35
9	235,79
10	259,37

Exponentiële groei zien we wanneer de interest niet steeds wordt opgenomen maar op de spaarrekening blijft staan. Dan wordt over de interest ook interest betaald en over het resultaat weer interest, enzovoort. We noemen dat samengestelde interest. Het vermogen ontwikkelt zich dan volgens de in tabel gegeven cijfers, die ook in de figuur zijn weergegeven.

Een paar dingen vallen op:

• het resultaat na 10 jaar is niet f 200 maar f 259,37;
• de verdubbeling van de f 100 tot f 200 vindt bij samengestelde interest berekening al rond het einde van het 7e jaar plaats;
• er ontstaat een snel toenemende kloof ten opzichte van de situatie van lineaire groei.

Het beklemmende effect van exponentiële groei in een begrensde ruimte wordt goed geïllustreerd met het sprookje van de lelievijver. In een vijver groeit een waterlelie. Deze wordt elke dag twee keer zo groot. Als de plant onbeperkt zou kunnen groeien, zou de vijver in 30 dagen helemaal dichtgegroeid zijn. De lelie lijkt een hele tijd klein. We nemen ons voor pas ongerust te worden als de vijver half dicht is gegroeid. Op welke dag zal dat zijn? Op de 21ste dag is 1/512 deel van de vijver bedekt. Op de 25ste dag 1/32 deel. De lelie is nauwelijks zichtbaar. Maar dan: op de 29ste dag -één dag voor hij helemaal dichtzit - is de vijver half vol.

De verdubbelingstijd van een exponentieel groeiende grootheid is ongeveer gelijk aan 70 gedeeld door het groeipercentage. Geld dat op een rekening staat tegen 10% samengestelde rente, verdubbelt in 7 jaar. De wereldbevolking die met 1,6% per jaar groeit, verdubbelt in ongeveer 44 jaar.