Pi-muziek

Klik op de blauwe muzieknoten om de composities te beluisteren.

De pi-compositieprijsvraag van de bijlage Wetenschap & Onderwijs is gewonnen door de componist die niet probeerde om tien decimalen om te zetten in twaalf tonen of intervallen.

WIM KÖHLER

Dit voorjaar, naar aanleiding van een artikel over pi en de rijmpjes die daarin voorkwamen om de eerste reeks decimalen van pi te kunnen onthouden (Eva, O lief, O zoete hartedief), schreef de wetenschapsredactie een compositieprijsvraag uit voor een muziekstuk gebaseerd op pi. De prijsvraag leverde vier inzendingen op en die door een jury bestaande uit drie wetenschapsredacteuren (twee amateur-musici en hun chef) zijn beoordeeld.

Geen van de inzenders heeft een melodie ingestuurd die, al neuriënd, een ezelsbruggetje is om de tiende of twintigste decimaal van pi te kunnen vinden. Omdat geen van de composities zich onmiddellijk onuitwisbaar als prijswinnaar in het geheugen nestelde, heeft de jury het proces van omwerking van de decimalen van cijfers tot muziek onderdeel laten zijn van de jurering.

Het grootste probleem waar een pi-componist tegenaan loopt is het omzetten van de tien cijfers (0 tot en met 9) van pi's decimalenreeks naar de twaalf tonen of toonafstanden waarmee de westerse muziek zijn melodieën en harmonieën bouwt. De twaalf tonen zijn: c, cis, d, dis, e, f, fis, g, gis, a, ais, b; de twaalf intervallen zijn priem, kleine en grote secunde, kleine en grote terts, kwart, tritonus, kwint, kleine en grote sext, de kleine en grote septiem en het octaaf. Het is goede traditie in de westerse muziektheorie om octaven vrij te mogen toevoegen of reduceren, zodat priem (het interval 0, dus twee gelijke tonen die na elkaar of samenklinken) en octaaf als elkaars gelijke worden beschouwd. Het betekent dat van een toonafstand van 14 halve tonen (een grote noon) vrijelijk een octaaf wordt afgetrokken, waarna een grote secunde resteert. Het resultaat klinkt heel anders, maar daar trekken theoretici en strenge tekentafelcomponisten zich niets van aan. Wie tien decimalen 1 op 1 naar twaalf decimalen of toonafstanden vertaalt, houdt twee tonen of toonafstanden over. Toch gingen twee inzenders op deze manier te werk.

Inzender J.A. de Lange maakte een melodie die, bij enige muzikale kennis, in zijn eenvoud een ezelsbrugliedje had kunnen zijn. Maar De Lange besloot om pi eerst te delen door 440. Dat is de frequentie van de moderne toon a. Vroeger was de a wat lager.

De rekensom leverde De Lange het quotiënt 0,007139983303613166 op, heel wat anders dan pi (3,1415926535897932). De Lange noteerde vervolgens voor iedere 0 een a, voor een 1 een bes, voor een 2 een b en zo verder de toonladder op naar boven, tot aan de 9 die een ges wordt, of een fis zo u wilt. Dat maakt in deze gelijkzwevende prijsvraag niet uit. De Lange laat zo twee tonen ongebruikt: de g en de as. Hij concludeert dat er een melodie ontstaat die het best in de toonsoort c klein kan worden geharmoniseerd. Hij voegt drie begeleidende stemmen aan zijn eenvoudige melodie toe. Maar de keus voor de toonsoort is vreemd is omdat zowel de dominant (de g) als een voor een mineurtoonsoort niet onaantrekkelijke kleine sext (de as) in zijn melodie niet voorkomen.

De prijs ging definitief aan De Langes neus voorbij toen de jury bemerkte dat in plaats van de beginsequens 7,1,3 (e, bes, c) de melodie begon op es, bes, c (6, 1, 3). Het meest significante cijfer in het onzinnige quotiënt pi/440 was dus fout verwerkt. ‘Om pi te onthouden dus gewoon dit stukje uit het hoofd leren', schrijft De lange ons opgewekt. Maar eerst 0,01 bij het klinkende resultaat optellen en dan met 440 vermenigvuldigen, voegen wij er ter waarschuwing aan toe.

Doorwrochter was de inzending van Jan Willem van der Ham . Hij stuurde een tweestemmige compositie in. In de bovenstem zijn de 32 eerste decimalen van pi tweemaal achter elkaar gebruikt. In de onderstem eenmaal. In de bovenstem liet Van der Ham een decimaal corresponderen met een interval (0 is priem, 1 is kleine secunde, 2 is grote secunde enzovoort). De componist besliste steeds of het een interval naar boven of naar beneden werd, ten opzichte van de voorgaande toon. Het resultaat is een melodie waarbij twee tonen niet worden gebruikt (het kleine en grote septiem). Aangezien in de 32 eerste decimalen van pi die Van der Ham gebruikte de nul niet voorkomt miste hij octaaf en priem.

Als een componist de vrijheid neemt om een interval naar boven of naar beneden te kiezen, waarom verdeelt hij dan niet de tien decimalen muzikaal wat zinniger over de twaalf intervallen? Waarom tritonus (de overmatige kwart of de verminderde kwint) niet weggelaten? Het is een toonafstand die bijna geen mens uit vrije wil zingt. Diabolus in musica heette dat interval al in de Middeleeuwen. Priem, octaaf en groot septiem leveren grotere bijdragen aan een verteerbare melodie dan de tritonus. Gemiste kans voor Van der Ham. Geen prijs.

Aardig is dat Van der Ham voor de onderstem een andere benadering kiest. Een onderstem legt vanouds de harmonie vast en westerse harmonieën en de kwintencirkel hebben iets met elkaar. Van der Ham tekent een kwintencirkel, gebruikt hem als kwartencirkel door hem andersom te doorlopen en laat de decimalen van pi het aantal stappen op de cirkel bepalen om de volgende toon voor de baslijn te vinden.

Ingewikkelder worden de manipulaties van Arnold Reinders. Zijn inzending is een elektronische dorische fuga, te beluisteren op zijn internetsite. Er zijn daar nog veel meer pi-achtige melodieën te horen. De prijs wint hij niet omdat hij geheel onaangekondigd en ongemotiveerd ook de decimalen van het getal van Euler e = 2,718281... in de melodie verwerkt. Het verbaast ons dan ook niet dat de fractale bewerking die Reinders ten slotte op zijn dataset loslaat meditatieve new age muziekjes oplevert. Daar hadden we niet om gevraagd!

Waarom gaat de prijs (wij stellen voor de CD van Tatiana Nikolaeva die de 24 preludes en fuga's voor piano van Shostakovich speelt) naar de compositie ‘Pi's Shit' van Bram Vrolijk? Allereerst omdat hij de omzetting van het tientallig getallenstelsel naar het twaalftallig toonstelsel omzeilt. De pi-decimalen keren bij hem terug als maatsoorten. Pi=3,1415 betekent voor Vrolijk een compositie die begint met een 3/8-ste maat, dan een 1/8-ste, een 4/8-ste en weer een 1/8-ste. Zo verder tot een stuk van 32 maten. Het levert interessante ritmiek.

Vervolgens heerst binnen iedere maat de decimaal-van-de-maat. In een 3/8-ste maat vinden we tertsen. Grote tertsen in de pianorechterhand, kleine tertsen in de pianolinkerhand. Alle grote tertsen op c (dus e, gis en c) mogen binnen iedere 3/8-ste maat vrijelijk gebruikt. In 1/8-ste en 8/8-ste maten klinkt alleen de c, daar zijn immers priem en octaaf aan de beurt. In de twee 9/8-ste maten die de compositie rijk is gaat Vrolijk uit van de noon. In de rechterhand (grote noon) levert dat (door octaafreductie) een hele-toonstoonladder en in de linkerhand verschijnt (kleine nonen) een halve-toonsreeks. Daar mag Vrolijk alle tonen van het octaaf gebruiken. Handig als je net de langste maat te vullen hebt.

Met het binnen een maat beschikbare toonmateriaal bouwt de componist vrijuit akkoorden en melodieën die ons overigens iets te vaak uit slechts stijgende en dalende reeksen bestaan. Dat schrijft hij zichzelf nergens voor.